Cho các số phức z, w, u thỏa mãn z−4+2i=2z+z¯,w−8−10iw−6−10i là số thuần ảo và \u+1−2i=u−2+i. Giá trị nhỏ nhất của P=u−z+u¯−w¯ thuộc khoảng nào sau đây?

Đáp án đúng là: B

Đầu tiên ta gọi A,  N1,  M lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z, w, u trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Khi đó ta có:Aa;b:z−4+2i=2z+z¯Mc;d:u+1−2i=u−2+i⇔A∈P:y=2x2+2x−5M∈d:y=x

Đặt w=x+yix,y∈ℝ, khi đó

e=w−8−10iw−6−10i=kik∈ℝ⇔w−8−10iw−6−10i¯=mim∈ℝ

⇒w−8−10iw¯−6+10i=w2+−6+10iw−8+10iw¯+148−20i (2)

Thế w=x+yix,y∈ℝ vào (2) kết hợp biến đổi đại số, ta được Ree=x2−14x+y2−20y+148=0.

Suy ra N∈C:x−72+y−102=1, tức N1 thuộc đường tròn tâm I17;10, bán kính R = 1.

Khi đó ta luôn có: P=u−z+u−w¯=u−z+u−w=MA+MN1≥MA+MI1−1

Gọi I2 là điểm đối xứng với I17;10 qua (d), khi đó ta suy ra I210;7 tức N2∈I2;1.

Khi đó ta có hình vẽ như sau:

Từ hình vẽ, ta dễ dàng suy ra: P=MA+MI1−1=MA+MI2−1=MA+MN2

Mặt khác theo bất đẳng thức đường gấp khúc ta luôn có: MA+MN2≥AN2 nên P≥AN2=AI2−1 khi N2≡N0 tức Pmin khi và chỉ khi AI2 min. Lúc này ta quy về bài toán đơn giản hơn như sau:

“Cho Aa;b∈P:y=2x2+2x−5 và I210;7, khi ấy tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng AI2”.

Lúc này ta có: AI2=a−102+2a2+2a−5−72=a−102+4a2+a−62.

Chạy TABLE ta suy ra AI2≥63.85−1∈5;8.