Số nghiệm của phương trình log3x2−2x=log5x2−2x+2 là

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x≠0;x≠2 .

Đặt log3x2−2x=log5x2−2x+2=t . Khi đó ta có

x2−2x=3tx2−2x+2=5t⇔x2−2x=3tx2−2x=5t−2

Từ đó suy ra 5t−2=3t⇔5t−2=3t      15t−2=−3t   2 .

· Phương trình (1) tương đương 5t−3t−2=0⇔1−35t−2.15t=0 .

Xét hàm số gt=1−35t−2.15t .

Khi đó g't=−35tln35−2.15tln15>0,  ∀t⇒gt đồng biến trênℝ .

Suy ra phương trình g(t) = 0  có không quá một nghiệm.

Dễ dàng thấy t = 1  là một nghiệm của phương trình g(t) = 0.

Suy ra t = 1 cũng là nghiệm duy nhất của phương trình g(t) = 0.

Với t = 1  ta có:

 log5x2−2x+2=1⇔x2−2x=3⇔x2−2x−3=0 (với Δ=14>0 ).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

· Phương trình (2) tương đương với 5t+3t−2=0 .

Xét hàm số h(t)=5t+3t−2 .

Khi đó h'(t)=5tln5+3tln3>0,  ∀t⇒h(t)  đồng biến trên ℝ .

Lập luận tương tự phương trình (1), ta có phương trình (2) có duy nhất một nghiệm t = 0.

Với t = 0 , ta có: log5x2−2x+2=0⇔x2−2x=−1⇔x2−2x+1=0

(vô nghiệm do Δ=−2<0 ).

Kết luận: Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.