Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng.Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng 32chiều cao của thùng nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 543π (dm3). Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể tích nước ...

Chọn C

Gọi R là bán kính của khối cầu. Khi đó thể tích nước tràn ra ngoài là thể tích của một nửa khối cầu nên 12.43πR3=543π⇔R=33.

Do đó chiều cao của thùng nước là h=23.2R=43.

Cắt thùng nước bởi thiết diện qua trục ta được hình thang cân ABCD với AB=3CD. Gọi O là giao điểm của ADvà BC thì tam giác OAB cân tại .

Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB và I là giao điểm của OH và CD →I là trung điểm của DC nên DI=13AH.

Ta có OIOH=DIAH=13 →OH=32HI=63

Gọi K là hình chiếu của H trên OA thì HK=R=33

Tam giác OHA vuông tại H có đường cao HK nên

1HK2=1HO2+1AH2→1AH2=1HK2−1HO2=136→AH=6→DI=2

Thể tích thùng đầy nước là hπAH2+DI2+AH.DI3=43π62+22+6.23=2083π3

Do đó thể tích nước còn lại là2083π3−543π=463π3dm3.