Cho hàm số f(x)có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa ∫01fxdx=∫01x+1exfxdx=e2-14 và f(1) = 0. Tính ∫01fxdx.

Đáp án C.

Đặt u=f(x)dv=x+1exdx⇔du=f'xdxv=xex, khi đó ∫01x+1ex.fxdx

=xex.fx01-∫01xex.f'xdx

=e.f1-∫01xex.f'xdx⇔∫01xex.f'xdx=-∫01x+1ex.fxdx=1-e24. 

Xét tích phân ∫01f'x+k.xex2dx=∫01f'x2dx+2k.∫01xex.f'xdx+k2.∫01x2e2xdx=0 

⇔e2-14+2k.1-e24+k2.e2-14=0⇒k2-2k+1=0⇔k=1⇒f'x=-x.ex. 

Do đó fx=∫f'xdx=-∫x.exdx=1-xex+C mà f1=0⇒C=0. 

Vậy I=∫01f(x)dx=∫01(1-x)exdx→casioI=e-2.