Cho hàm số y=f(x) liên tục và có đạo hàm trên ℝ, có đồ thị như hình vẽ bên. Với m là tham số thực bất kì thuộc đoạn [1;2], phương trình f(x3−3x2)=m3−3m2+5 có bao nhiêu nghiệm thực?

Đáp án B

Đặt t=x3−3x2⇒t'=3x2−6x=0⇔x∈0;2. Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra: 

+) Hàm số y=x3−3x2 nghịch biến trên 1;2⇒t∈−4;−2.

Suy ra (m3−3m2)∈−4;−2 khi m∈1;2

⇒(m3−3m2+5)∈1;3 với m∈1;2.

+) Khi đó dựa vào đồ thị suy ra phương trình f(t)=m3−3m2+5⇔t=t1<−4t=t2∈(−4;0)t=t3∈(−4;0)

+) Bảng biến thiên của hàm số y=x3−3x2 cho ta biết:

Với t=t1⇒x3−3x2=t1<−4: có 1 nghiệm.

Với t=t2⇒x3−3x2=t2∈(−4;0): có 3 nghiệm.

Với t=t3⇒x3−3x2=t3∈(−4;0): có 3 nghiệm.

Vậy phương trình ban đầu có tất cả: 1+3+3=7 nghiệm.

Chú ý: Ở câu hỏi này ta có thể chọn m=1∈1;2 để đưa phương trình về dạng: f(x3−3x2)=3

(Do số nghiệm của phương trình không đổi với ∀m∈1;2).