Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB'=a, góc giữa đường thẳng BB' và mặt phẳng (ABC) bằng 60°, tam giác ABC vuông tại C và BAC^=60°. Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Thể tích của khối tứ diện A'.ABC tính theo a bằng

Đáp án C

Ta có: VA'.ABC=VB'.ABC=13B'G.SABC (*).

Ta có: B'G=BB'sin60°=a32(1)BG=BB'cos60°=a2⇒BM=32BG=3a4.

Đặt BC=x⇒AC=BC.cot60°=x3⇒MC=x23.

Ta có: BM2=BC2+MC2⇔9a216=x2+x212⇔x=3a3926.

Hay BC=3a3926;AC=3a1326⇒SABC=12AC.BC=12.3a3926.3a1326=9a23104 (2).

Thay (1), (2) vào (*) ta được: VA'.ABC=13.a32.9a23104=9a3208.