Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A0;0;3,B0;3;0,C3;0;0,D3;3;3. Hỏi có bao nhiêu điểm Mx;y;z (với x, y, z nguyên) nằm trong tứ diện?

Đáp án A

Ta có phương trình các mặt phẳng (ABC), (DAB), (DBC), (DAC) lần lượt là x+y+z−3=0,  −x+y+z−3=0,  x+y−z−3=0,  x−y+z−3=0.

Nếu M(x;y;z) nằm trong tứ diện thì M, O khác phía so với mặt phẳng (ABC) và cùng phía so với các mặt phẳng còn lại, đồng thời M có toạ độ là những số nguyên dương.

Từ đó toạ độ M thoả mãn x+y+z−3>0−x+y+z−3<0x−y+z−3<0x+y−z−3<0x,y,z∈ℤ+

Không mất tính tổng quát giả sử x≥y≥z.

Từ x+y<3+z≤3+y⇔x<3⇒1≤x,y,z≤2.

Do đó ta có các bộ x;y;z∈1;1;2;1;2;1;2;1;1;2;2;2 thoả mãn hệ phương trình trên. Vậy có tất cả 4 điểm M nằm trong tứ diện