Cho hình nón (N) đỉnh S có bán kính đáy bằng a và diện tích xung quanh Sxq=2πa2. Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD nội tiếp đáy của khối nón (N).

Đáp án B

Phương pháp giải:

- Dựa vào công thức tính diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy r và đường sinh l là Sxq=πrl để tính độ dài đường sinh của hình nón.

- Tính chiều cao của hình nón h=l2−r2 để tính chiều cao của hình nón, cũng chính là chiều cao của khối chóp.

- Tính thể tích khối chóp có chiều cao h, diện tích đáy B là V=13Bh.

Giải chi tiết:

Gọi O=AC∩BD⇒SO⊥ABCD và SO cũng chính là chiều cao của khối nón.

Diện tích xung quanh của hình nón là Sxq=πrl=π.a.l=2πa2 ⇒l=2a.

Chiều cao của hình nón là h=l2−r2=4a2−a2=a3=SO.

Ta có: AC=2r=2a nên AB=AC2=2a2=a2 ⇒SABCD=a22=2a2.

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: VS.ABCD=13SO.SABCD=13.a3.2a2=23a33.