Một nông dân định trồng cà chua và cà pháo trên diện tích 7 ha. Nếu trồng cà chua thì cần 10 công và thu 1 000 000 đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng cà pháo thì cần 20 công và thu 2 000 000 đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất biết rằng tổng số công không quá 100 ?

Số ha cà chua và cà pháo mà hộ nông dân này trồng lần lượt là x và y (x, y ≥ 0).

Lợi nhuận thu được là F(x; y) = 1 000 000x + 2 000 000y (đồng).

Tổng số công dùng để trồng x ha cà chua và y ha cà pháo là 10x + 20y.

Ta có hệ bất phương trình: x+y≤710x+20y≤100x≥0y≥0⇔x+y≤7x+2y≤10x≥0y≥0

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác không bị gạch chéo trong hình vẽ (kể cả biên).

F(x; y) đạt giá trị lớn nhất khi (x; y) là tọa độ của một trong các đỉnh của tứ giác

Ta có:

F(0; 0) = 0

F(0; 5) = 10 000 000

F(4; 3) = 10 000 000

F(7; 0) = 7 000 000

Suy ra F(x; y) lớn nhất khi (x; y) = (0; 5) hoặc (x; y) = (4; 3) tức là hộ nông dân này cần phải trồng 0 ha cà chua và 5 ha cà pháo hoặc 4 ha cà chua hoặc 3 ha cà pháo thì sẽ thu về lợi nhuận lớn nhất.