Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số fx=3x+mx2+1 đồng biến trên ℝ?

Phương pháp:

- Tính đạo hàm f'(x)

- Để hàm số fx=3x+mx2+1 đồng biến trên ℝ thì f'x≥0∀x∈ℝ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

- Chia TH của x cô lập m.

- Giải các bất phương trình: m≥fx∀x∈a;b⇒m≥maxa;bfxm≤fx∀x∈a;b⇒m≤mina;bfx

Cách giải:

TXĐ: D=ℝ

Ta có fx=3x+mx2+1⇒f'x=3+mxx2+1.

Để hàm số fx=3x+mx2+1 đồng biến trên ℝ thì f'x≥0 ∀x∈ℝ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

⇔3+mxx2+1≥0 ∀x∈ℝ⇔3x2+1+mxx2+1≥0 ∀x∈ℝ

⇔3x2+1+mx≥0 ∀x∈ℝ⇔mx≥−3x2+1 ∀x∈ℝ

TH1: x=0⇒0≥−3 (luôn đúng).

TH2: x>0⇒m≥−3x2+1x=fx⇒m≥max0;+∞fx 1.

TH3: x<0⇒m≤−3x2+1x=fx⇒m≤min0;+∞fx 2.

Xét hàm số fx=−3x2+1xx≠0 ta có f'x=−3xx2+1x+3x2+1x2=3x2x2+1>0 ∀x≠0.

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy 1⇔m≥−3,2⇔m≤3⇒−3≤m≤3.

Mà m∈ℤ⇒m∈−3;−2;−1;0;1;2;3.

Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.