Cho hàm số fx xác định và có đạo hàm liên tục trên 0;  π thỏa mãn ∫0πfxcosxdx=A , fπ2=0 và ∫0πf'x2dx=2A2π , ở đó A là hằng số. Tính ∫0π4f2xdx theo A.

Đáp án C

Theo phương pháp tích phân từng phần, ta có: A=∫0πfxcosxdx=fxsinx0π−∫0πf'xsinxdx=−∫0πf'xsinxdx

Suy ra ∫0πf'xsinxdx=−A

Ta lại có: ∫0πsin2xdx=∫0π1−cos2x2dx=x2−sin2x40π=π2

Mặt khác,∫0πf'x2dx=2A2π . Gọi X là số thực thỏa mãn 

2A2π+2−AX+X2π2=0⇔2πA−Xπ22=0⇒X=2Aπ

Từ đó ta có: 

 ∫0πf'x2dx+22Aπ∫0πf'xsinxdx+4A2π2∫0πsin2xdx=0 hay ∫0πf'x+2Aπsinx2dx=0

Do f'x , sinx liên tục nên f'x+2Aπsinx2  không âm, liên tục và ∫0πf'x+2Aπsinx2dx=0 do đó f'x+2Aπsinx=0  trên 0,  π

Hay f'x=−2Aπsinx  trên 0,  π

Lấy nguyên hàm hai vế trên 0,  π  , ta có: fx=2Aπcosx+C  với ∀x∈0,  π

Theo giả thiết fπ2=0  nên C=0 . Vậy fx=2Aπcosx  với ∀x∈0,  π

Khi đó ∫0π4f2xdx=∫0π42Aπcos2xdx=Aπsin2x0π4=Aπ.