Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và O là trọng tâm tam giác. Tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn tâm O bán kính a2 . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên OA→+OB→+OC→=0→ và MA→+MB→+MC→=3MO→ .

Ta có:

MA→+MB→+MC→=3MO→

⇔MA→+MB→+MC→2=9OM→2

⇔MA→2+MB→2+MC→2+2MA→.MB→+MB→.MC→+MC→.MA→=9MO→2

Mặt khác, ta lại có:

MA→2+MB→2+MC→2=MO→+OA→2+MO→+OB→2+MO→+OC→2

=MO→2+2MO→.OA→+OA→2+MO→2+2MO→.OB→+OB→2+MO→2+2MO→.OC→+OC→2

=3MO→2+OA→2+OB→2+OC→2+2MO→OA→+OB→+OC→

=3MO2+a2

Như vậy, ta được:

3MO2+a2+2MA→.MB→+MB→.MC→+MC→.MA→=9MO2

⇔MA→.MB→+MB→.MC→+MC→.MA→=3MO2−a22

Mà M thuộc đường tròn tâm O bán kính a2  nên MO=a2⇒MO2=a24

⇔MA→.MB→+MB→.MC→+MC→.MA→=a24.