Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(−2; −2; 1), A(1; 2; −3) và đường thẳng d : x+12=y−52=z−1. Gọi u→ = (1; a; b) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ đi qua M, ∆ vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng nhỏ nhất. Giá trị của a + 2b là

Đáp án đúng là: D

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d, khi đó (P) chứa ∆

Mặt phẳng (P) qua M(−2; −2; 1) và có vectơ pháp tuyến nP→ = ud→ = (2; 2; −1) nên có phương trình : (P) : 2x + 2y – z + 9 = 0

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên (P) và ∆. Khi đó: AK ≥ AH nên AK min khi

K ≡ H. Đường thẳng AH đi qua A(1; 2; −3) và có vectơ chỉ phương ud→ = (2; 2; −1) nên AH có phương trình tham số:

x=1+2ty=2+2tz=−3−t  

H ∈ AH Þ H(1 + 2t; 2 + 2t; −3 – t)

H ∈ (P) Þ 2(1 + 2t) + 2(2 + 2t) –(−3 – t) + 9 = 0 Þ H(−3; −2; −1)

Nên u→ = HM→ = (1; 0; 2)

Vậy a = 0; b = 2 Þ a + 2b = 4