Trong không gian Oxyz, cho bốn đường thẳng: d1:x−31=y+1−2=z+11, d2:x1=y−2=z−11, d3:x−12=y+11=z−11, d4:x1=y−1−1=z−11. Gọi D là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng trên, phương trình đường thẳng D là:

Đáp án đúng là: A

Ta có: d1:x−31=y+1−2=z+11, d2:x1=y−2=z−11, d3:x−12=y+11=z−11, 

d4:x1=y−1−1=z−11có các véc-tơ chỉ phương là:

u1→=u2→=1; −2; 1; u3→=2; 1; 1; u2→=1; −2; 1

Do (d₁) // (d₂) nên tạo ra một mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng trên

Lấy hai điểm A(3; -1; -1) và B(0; 0; 1) lần lượt thuộc hai đường thẳng (d₁) và (d₂)

Ta có AB→=−3; 1; 2

Hai véc-tơ AB→  và u1→  thuộc mặt phẳng (P) nên đều vuồng góc với véc-tơ pháp tuyến của (P)

⇒nP→=AB→; u1→

=12−21; 2−311; −311−2

= (5; 5; 5)

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua B(0; 0; 1) nhận (1; 1; 1) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình

(P): x + y + z - 1 = 0

Để D cắt cả hai đường thẳng (d₁) và (d₂) thì D thuộc mặt phẳng (P)

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của (d₃) và (d₄) với mặt phẳng (P) ta có

+) d3:x−12=y+11=z−11

⇒x=1+2my=−1+mz=1+m  

Thay vào mặt phẳng (P) ta thấy 1 + 2m - 1 + m + 1 + m - 1 = 0 Û m = 0

Vậy suy ra M(1; -1; 1)

+) d4:x1=y−1−1=z−11

⇒x=n    y=1−nz=1+n

Thay vào mặt phẳng (P) ta thấy n + 1 - n + 1 + n - 1 = 0 Û n = -1

Vậy suy ra N(-1; 2; 0)

Đường thẳng D thuộc mặt phẳng (P) mà cắt cả hai đường thẳng (d₃) và (d₄) nên D phải đi qua hai điểm M và N

Ta có: MN→=−2; 3; −1

Phương trình đường thẳng D đi qua N(-1; 2; 0) nhận véc-tơ MN→=−2; 3; −1  làm véc-tơ là

Δ:x+1−2=y−23=z−1

⇔x+12=y−2−3=z1

⇔x+12−2=y−2−3−2=z1−2

⇔x−32=y+4−3=z−21.