Giả sử F(x) = x² là một nguyên hàm của f(x)sin²x và G(x) là một nguyên hàm của f(x)cos²x trên khoảng (0; π). Biết rằng Gπ2 = 0, Gπ4 = aπ + bπ² + cln2, với a, b, c là các số hữu tỉ. Tổng a + b + c bằng

Đáp án đúng là: B

F(x) = x² là nguyên hàm của f(x)sin²x

Nên F'(x) = f(x)sin²x

Û 2x = f(x)sin²x Û f(x) = 2xsin2x 

G(x) là nguyên hàm của f(x)cos²x

Do đó G(x) = ∫f(x)cos2xdx = ∫2xsin2x.cos2xdx 

= ∫2x(1−sin2x)sin2xdx = ∫2xsin2xdx−∫2xdx 

= ∫2xd(−cotx) − x²

= −2xcotx + ∫2cotx.dx − x²

= −2xcotx – x² + 2∫cotx.dx 

= −2xcotx – x² + 2ln|sinx| + C

Theo giả thiết:

• Gπ2 = 0

⇔−2.π2.cotπ2−π22+2lnsinπ2+C=0

⇔−π.0−π42+2ln1+C=0

Û −π24 + C = 0 Û C = π24 

Nên G(x) = −2xcotx – x² + 2ln|sinx| + π24 

• Gπ4=−2.π4.cotπ4−π42+2lnsinπ4+π24 

= −π2−π216+2ln12+π24 

= −π2+3π216−2ln2 

= −π2+3π216−ln2 

Mà Gπ4 = aπ + bπ² + cln2

Nên ta có: a = −12; b = 316; c = −1

Vậy a + b + c = −12 + 316 − 1 = −2116.