Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,AB = a\sqrt 3 ,AC = a.\) Điểm \(A'\) cách đều ba điểm \(A,B,C.\) Góc giữa đường thẳng \(AB'\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) bằng

Đáp án C.

Ta có \(BC = 2a.\) Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A'\) xuống mặt phẳng \(\left( {ABC} \right).\) Do \(A'\) cách đều \(A,B,C\) nên hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\) Do đó \(H\) là trung điểm của cạnh \(BC\) và \(\Delta AHC\) đều cạnh \(a.\)

Dựng hình bình hành \(HABK \Rightarrow K\) là hình chiếu vuông góc của \(B'\) xuống mặt phẳng \(\left( {ABC} \right).\)

Do đó \(\left( {\widehat {AB',\left( {ABC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {AB',AK}} \right) = \widehat {A'AK} = {60^0}.\)

Áp dụng định lý côsin trong \(\Delta AHK\) ta có:

\(AK = \sqrt {A{H^2} + H{K^2} - 2.AH.HK.\cos \left( {{{150}^0}} \right)} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} - 2a.a\sqrt 3 .\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)} = a\sqrt 7 .\)

\( \Rightarrow A'H = B'K = AK.\tan {60^0} = a\sqrt {21} .\)

Dựng hình bình hành \(ACBM\) ta có:

\(BC//AM \Rightarrow d\left( {BC,A'A} \right) = d\left( {BC,\left( {A'AM} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {A'AM} \right)} \right)\)

Kẻ \(HE \bot AM,HN \bot A'E \Rightarrow d\left( {H,\left( {A'AM} \right)} \right) = HN.\)

Ta có \(HE = AH.\sin {60^0} = a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \frac{1}{{H{N^2}}} = \frac{1}{{H{E^2}}} + \frac{1}{{A'{H^2}}} \Rightarrow HN = \frac{{a\sqrt {609} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{\sqrt {29} }}.\)

Vậy \(d\left( {AA',BC} \right) = d\left( {H,\left( {A'AM} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{{\sqrt {29} }}.\)