Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx - 1\) với \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số đạt cực trị tại hai điểm \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 6.\)

Đáp án B.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}.\)

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x + m\)

Hàm số đã cho có cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

Hay: \(\Delta ' = 9 - 3m >0 \Leftrightarrow m < 3.\left( 1 \right)\)

Khi đó \(y' = 0\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}.{x_2} = \frac{m}{3}\end{array} \right.\)

Theo bài ra: \(x_1^2 + x_2^2 = 6 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 6 \Leftrightarrow {2^2} - \frac{3} = 6 \Leftrightarrow m = - 3\) (thỏa mãn (1)).

Vậy với \(m = - 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.