Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Hai điểm \(M,N\) lần lượt thuộc các đoạn thẳng \(AB\) và \(AD(M\) và \(N\) không trùng với \(A)\) sao cho \(\frac + 2\frac = 4.\) Kí hiệu \(V,{V_1}\) lần lượt là thể tích của các khối chóp \(S.ABCD\) và \(S.MBCDN.\) Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số \(\frac{}{V}.\)

Đáp án C.

Ta có: \(\frac{}{V} = \frac{{{V_{S.MBCDN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{{V_{S.ABCD}} - {V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = 1 - \frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = 1 - k\)

Với \(k = \frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{{S_{\Delta AMN}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{{S_{\Delta AMN}}}}{{2{S_{ABD}}}} = \frac{1}{2}\frac\)

Mặt khác ta có: \(4 = \frac + 2\frac \ge 2\sqrt {\frac.2\frac} \Leftrightarrow 2 \ge \frac.\frac \Leftrightarrow \frac\frac \ge \frac{1}{2}.\)

Suy ra: \(k = \frac{1}{2}\frac \ge \frac{1}{4}.\)

\({k_{\min }} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac = \frac = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM = 2AM\\AD = AN\end{array} \right. \Leftrightarrow N \equiv D,M\) là trung điểm của \(AB.\)

Suy ra: \(\frac{}{V} \le 1 - {k_{\min }} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.\)