Cho hàm số f(x)=x3−3x2+1. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=|f(sinx+3cosx)+m| có giá trị nhỏ nhất không vượt quá 5?

Phương pháp giải:

Áp dụng bổ đề: Cho hàm số f(x), liên tục trên [a;b] ta có: {min[a; b]f(x)=Amax[a; b]f(x)=B⇒ Tìm min[a;  b]|f(x)|=?

TH1: Nếu AB≤0 ⇒min[a;  b]|f(x)|=0.

TH2: Nếu {A>0B>0⇒min[a;  b]|f(x)|=A.

TH3: Nếu {A<0B<0⇒min[a;  b]|f(x)|=−B.

Giải chi tiết:

Đặt t=sinx+3cosx

Ta có: t=2(12sinx+32cosx)=2sin(x+π3)⇒t∈[−2;2].

Khi đó ta có: y=|f(sinx+3cosx)+m|=|t3−3t2+1+m|

Xét hàm số g(t)=t3−3t2+m+1 trên [−2;2] ta được:

g'(t)=3t2−6t⇒g'(t)=0⇔3t2−6t=0⇔[t=0t=2

Ta có: {g(−2)=m−19g(0)=m+1g(2)=m−3 ⇒{min[−2;  2]g(t)=m−19max[−2;  2]g(t)=m+1

TH1: (m+1)(m−19)≤0⇔−1≤m≤19 ⇒min[−2;  2]|g(t)|=0

⇒ Có 21 giá trị m thỏa mãn bài toán.

TH2: {m−19>0m+1>0⇔m>19 ⇒min[−2;  2]|g(t)|=m−19

⇒m−19≤5⇔m≤24⇒19

⇒m∈{20;21;22;23;24}

⇒ Có 5 giá trị m thỏa mãn bài toán.

TH3: {m−19<0m+1<0⇔m<−1 ⇒min[−2;  2]|g(t)|=−(m+1)

⇒−m−1≤5⇔m≥−6⇒−6≤m<−1

⇒m∈{−6;−5;−4;−3;−2}

⇒ Có 5 giá trị thỏa mãn bài toán.

Vậy có: 21+5+5=31 giá trị thỏa mãn bài toán.

Đáp án C