Cho tứ diện ABCD có AB=CD=4,BC=AD=5,AC=BD=6. M là điểm thay đổi trong tâm giác ABC. Các đường thẳng qua M song song với AD,BD,CD tương ứng cắt mặt phẳng (BCD),(ACD),(ABD) tại A′,B′,C′. Giá trị lớn nhất của MA′.MB′.MC′ là

Trong tam giác ABC, kéo dài AM,BM,CM cắt các đoạn thẳng BC,CA,AB lần lượt tại H,G,F.

+) Trong mặt phẳng (HAD), kẻ MA′//AD.

+) Trong mặt phẳng (GBD), kẻ MB′//BD.

+) Trong mặt phẳng (FCD), kẻ MC′//CD.

Từ đó ta được các điểm A′,B′,C′ cần tìm.

Theo định lý Ta – let ta có: \[\frac{{MA'}} = \frac \Rightarrow MA' = 5.\frac\]

\[\frac{{MB'}} = \frac \Rightarrow MB' = 6.\frac;\frac{{MC'}} = \frac \Rightarrow MC' = 4.\frac\]

\[ \Rightarrow MA'.MB'.MC' = 120.\frac.\frac.\frac\]

Trong tam giác ABC ta có:\[1 = \frac + \frac + \frac \ge 3\sqrt[3]{{\frac.\frac.\frac}}\]

\[ \Rightarrow \frac.\frac.\frac \le \frac{1}\]

Do đó\[MA'.MB'.MC' = 120.\frac.\frac.\frac \le 120.\frac{1} = \frac{9}\]

\[ \Rightarrow {\left( {MA'.MB'.MC'} \right)_{\max }} = \frac{9}\]

Đáp án cần chọn là: A