Biết rằng đồ thị hàm số y=(x−1)(x+1)(x2−7)−m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là x1, x2, x3, x4. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để 11−x1+11−x2+11−x3+11−x4>1 ?

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Đặt ẩn phụ t=x2≥0, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t.

- Để phương trình hoành độ giao điểm có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình bậc hai ẩn t phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1.

- Giả sử phương trình bậc hai ẩn t có 2 nghiệm dương phân biệt t1,t2, suy ra 4 nghiệm x, thay vào giả thiết, sau đó áp dụng định lí Vi-ét và giải bất phương trình.

Giải chi tiết:

Ta có: y=(x−1)(x+1)(x2−7)−m

y=(x2−1)(x2−7)−m

y=x4−8x2+7−m

Xét phương trình hoành độ giao điểm: x4−8x2+7−m=0(*).

Đặt t=x2(t≥0), phương trình đã cho trở thành: t2−8t+7−m=0(**).

Để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn ycbt thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1.

⇒{Δ'=16−7+m>08>0(luondung)7−m>0m≠0⇔{−9

Khi đó giả sử phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt t1;t2 thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt x1=−t1;x2=t1; x3=−t2;x4=t2.

Theo bài ra ta có:

11−x1+11−x2+11−x3+11−x4>1

⇔11+t1+11−t1+11+t2+11−t2>1

⇔1−t1+1+t11−t1+1−t2+1+t21−t2>1

⇔21−t1+21−t2>1

⇔2(1−t2+1−t1)−(1−t1−t2+t1t2)1−t1−t2+t1t>0 ⇔3−(t1+t2)−t1t2t1t2−(t1+t2)+1>0

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: {t1+t2=8t1t2=7−m.

⇒3−8−7+m7−m−8+1>0⇔m−13−m>0⇔0

Kết hợp điều kiện ta có 0

Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án C