Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằnga3 . Gọi O là tâm của đáy ABC, d1là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và d2 là khoảng cách từ O đến mặt phẳng(SBC) . Tính d=d1+d2.

Phương pháp giải:

- Gọi M là trung điểm của BC, xác định d(A;(SBC)).

- Sử dụng định lí Pytago và công thức diện tích tam giác, tính d(A;(SBC)).

- Sử dụng công thức: AO∩(SBC)={M}⇒d(O;(SBC))d(A;(SBC))=OMAM, so sánh d(O;(SBC)) và d(A;(SBC)).

Giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của BC ta có: {BC⊥AMBC⊥SM⇒BC⊥(SAM).

Trong (SAM) kẻ AH⊥SM(H∈SM) ta có: {AH⊥SMAH⊥BC(AH⊂(SAM))⇒AH⊥(SBC).

⇒d1=d(A;(SBC))=AH

Vì ΔABC đều cạnh a nên AM=a32⇒AO=23AM=a33.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SAO có: SO=SA2−AO2=3a2−a33=2a63.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SBM có: SM=SB2−BM2=3a2−a24=a112.

Ta có: SΔSAM=12SO.AM=12AH.SM ⇒AH=SO.AMSM=2a63.a32a112=2a2211.

⇒d1=2a2211.

Ta có:

AO∩(SBC)={M}⇒d(O;(SBC))d(A;(SBC))=OMAM=13

⇒d(O;(SBC))=13d(A;(SBC))=2a2233.

⇒d2=2a2233.

Vậy d=d1+d2=2a2211+2a2233=8a2233.

Đáp án A