Cho hàm số \(f\left( x \right),\) hàm số \(y = f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên Bất phương trình \(f\left( x \right) < 2x + m\) (\(m\) là tham số thực) có nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {0;2} \right)\) khi và chỉ khi

Đáp án C.

Ta có \(f\left( x \right) < 2x + m \Leftrightarrow m >f\left( x \right) - 2x\left( * \right).\)

Xét \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - 2x,\forall x \in \left( {0;2} \right).\)

Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2 < 0,,\forall x \in \left( {0;2} \right)\) nên hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;2} \right).\)

Do đó (*) đúng với mọi \(x \in \left( {0;2} \right)\) khi và chỉ khi \(m \ge g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right).\)