Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông và \(AB = BC = a,AA' = a\sqrt 2 ,M\) là trung điểm \(BC.\) Tính khoảng cách \(d\) của hai đường thẳng \(AM\) và \(B'C.\)

Đáp án B.

Ta có \(AB = BC = a\) nên \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B.\)

Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) và \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = a\sqrt 2 .\frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\) (đvtt).

Gọi \(E\) là trung điểm \(BB'.\) Khi đó \(B'C//EM \Rightarrow B'C//\left( {AME} \right).\)

Vậy \(d\left( {AM,B'C} \right) = d\left( {\left( {AME} \right),B'C} \right) = d\left( {C,\left( {AME} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {AME} \right)} \right).\)

Gọi \(h\) là khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {AME} \right).\)

Ta nhận thấy tứ diện \(B.AME\) có \(BE,BM,BA\) đôi một vuông góc.

Khi đó \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{B{M^2}}} + \frac{1}{{B{E^2}}} + \frac{1}{{B{A^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{h^2}}} = \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{7}{{{a^2}}} \Rightarrow h = \frac{{a\sqrt 7 }}{7}.\)