Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Hỏi phương trình f(xf(x))−2=0có bao nhiêu nghiệm phân biệt.

Phương pháp giải:

- Đặt t=xf(x)⇒f(t)=2. Sử dụng tương giao đồ thị hàm số giải phương trình tìm t.

- Cô lập f(x), tiếp tục sử dụng tương giao hàm số để giải phương trình.

- Sử dụng kĩ năng chọn đại diện 1 số cụ thể thỏa mãn điều kiện, để bài toán đơn giản hơn.

Giải chi tiết:

Đặt t=xf(x) ta có: f(t)−2=0⇔f(t)=2.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình f(t)=2 có 3 nghiệm phân biệt [t=a∈(−4;−2)t=0t=b∈(0;2).

⇒[xf(x)=a∈(−4;−2)xf(x)=0xf(x)=b∈(0;2)⇔[f(x)=ax(x≠0);a∈(−4;−2)x=0f(x)=0⇔x=−4f(x)=bx(x≠0);b∈(0;2)

Chọn a=−3, xét phương trình f(x)=−3x(1), số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) và y=−3x.

Chọn b=1, xét phương trình f(x)=1x(2), số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) và y=1x.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình (1) có 2 nghiệm, phương trình (2) có 2 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt.

Đáp án D