Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(2a,O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD.\) Gọi \(M\) là trung điểm \[{\rm{AO}}{\rm{.}}\] Tính khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) theo\(a?\)

Đáp án B.

Ta có: \(\frac = \frac{3}{2} \Rightarrow d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{3}{2}d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right).\)

Kẻ \(OH \bot CD;OI \bot SH\). Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OH\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOH} \right) \Rightarrow \left( {SCD} \right) \bot \left( {SOH} \right).\)

Mà \(\left\{ {\left( {SCD} \right) \cap \left( {SOH} \right) = SH;OI \bot SH \Rightarrow OI \bot \left( {SCD} \right)} \right.\) hay \(OI = d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right).\)

Có: \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {4{a^2} - 2{a^2}} = a\sqrt 2 ;OH = a.\)

Trong tam giác vuông \(SOH:OI = \frac{{\sqrt {S{O^2} + O{H^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2 .a}}{{\sqrt {2{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)

\(d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{3}{2}.d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{3}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\)