Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{x\left( {2 + x} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)?\)

Đáp ánB.

Ta có:

\(\int\limits_{}^{} {\frac{{x\left( {2 + x} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} = \int\limits_{}^{} {\frac{{\left[ {\left( {x + 1} \right) - 1} \right]\left[ {\left( {x + 1} \right) - 1} \right]}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} = \int\limits_{}^{} {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} = \int\limits_{}^{} {\left[ {1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right]dx} = x + \frac{1} + C\)

Khi đó:

\(y = \frac{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{x\left( {x + 1} \right) + 1}} = x + \frac{1} + 0\) là nguyên hàm của hàm số đã cho.

\(y = \frac{{{x^2}}} = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) + 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 1}} = x + \frac{1} - 1\) là nguyên hàm của hàm số đã cho.

\(y = \frac{{{x^2} - x - 1}} = \frac{{{x^2} - x - 2 + 1}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 1}} = x + \frac{1} - 2\) là nguyên hàm của hàm số đã cho.

Vậy hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 1}}\) không phải là nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{x\left( {2 + x} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\)