Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho hình thang cân \[ABCD\] có các đáy lần lượt là \[AB,\,\,CD.\] Biết \(A\left( {3\,;\,\,1\,;\,\, - 2} \right),\,\,B\left( { - 1\,;\,\,3\,;\,\,2} \right),\,\,C\left( { - 6\,;\,\,3\,;\,\,6} \right)\) và \(D\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{R}.\) Tính \(T = a + b + c.\)

Do \[ABCD\] là hình thang cân nên hay \(\frac{{ - 2}} = \frac{1} = \frac{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = \frac{{ - a}}{2}}\\{c =  - a}\end{array}} \right.\).

Vậy \(D\left( {a\,;\,\,\frac{{ - a}}{2}\,;\,\, - a} \right).\)

Lại có \(AC = BD \Leftrightarrow A{C^2} = B{D^2} \Leftrightarrow {\left( { - 9} \right)^2} + {2^2} + {8^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{2} + 3} \right)^2} + {\left( {a + 2} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + 4a - 60 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 6}\\{a =  - 10}\end{array}} \right.\).

Với \(a =  - 10 \Rightarrow D\left( { - 10\,;\,\,5\,;\,\,10} \right).\) Kiểm tra thấy: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} .\)

Vớí \(a = 6 \Rightarrow D\left( {6\,;\,\, - 3\,;\,\, - 6} \right).\)

Kiểm tra thấy: \(\left( { - 3} \right) \cdot \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} .\) Do đó \(T = a + b + c = 6 - 3 - 6 =  - 3.\)

Cách 2: Ta có \[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4\,;\,\,2\,;\,\,4} \right);\,\,\overrightarrow {CD}  = \left( {a + 6\,;\,\,b - 3\,;\,\,c - 6} \right)\]

Do \[ABCD\] là hình thang cân nên \(\overrightarrow {AB} \,;\,\,\overrightarrow {CD} \) ngược hướng hay

\(\frac{{ - 2}} = \frac{1} = \frac{2} < 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = \frac{{ - a}}{2}}\\{c =  - a}\\{a >  - 6}\end{array}} \right.\).

Do đó \(D\left( {a\,;\,\,\frac{{ - a}}{2}\,;\,\, - a} \right)\) với \(a >  - 6.\)

Lại có \(AC = BD \Leftrightarrow A{C^2} = B{D^2} \Leftrightarrow {\left( { - 9} \right)^2} + {2^2} + {8^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{2} + 3} \right)^2} + {\left( {a + 2} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + 4a - 60 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 6}\\{a =  - 10\,\,(\;{\rm{L}})}\end{array}} \right.\)

Với \(a = 6 \Rightarrow D\left( {6\,;\,\, - 3\,;\,\, - 6} \right).\)

Do đó, \(T = a + b + c = 6 - 3 - 6 =  - 3.\)

Cách 3: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \[AB\].

Gọi mặt phẳng \((\alpha )\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \[AB\].

Khi đó, mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua trung điểm \(I\left( {1\,;\,\,2\,;\,\,0} \right)\) của đoạn thẳng AB và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2\,;\,\,1\,;\,\,2} \right).\)

Suy ra phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) là: \((\alpha ): - 2x + y + 2z = 0.\)

Vì \[C,\,\,D\] đối xứng nhau qua mặt phẳng \((\alpha )\) nên \(D\left( {6\,;\,\, - 3\,;\,\, - 6} \right)\).

Do đó \[a = 6\,;\,\,b =  - 3\,;\,\,c =  - 6 \Rightarrow T = a + b + c =  - 3\]. Chọn A.