Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), đồng thời thỏa mãn \(f\left( x \right) \cdot f'\left( x \right) - {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} = 2{e^{6x}},\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) Biết \(f(0) = 1\) và \(f\left( 1 \right) = a \cdot {e^b}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}.\) Giá trị \(a + b\) bằng

Ta có \[f\left( x \right) \cdot f'\left( x \right) - {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} = 2{e^{6x}} \Leftrightarrow 2{e^{ - 2x}}\left[ {f\left( x \right) \cdot f'\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)} \right] = 4{e^{4x}}\]

\( \Leftrightarrow \left[ {{e^{ - 2x}} \cdot {f^2}\left( x \right)} \right] = 4{e^{4x}} \Rightarrow {e^{ - 2x}} \cdot {f^2}\left( x \right) = {e^{4x}} + C.\)

• \[f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow {e^0} \cdot {f^2}\left( 0 \right) = {e^0} + C \Rightarrow C = 0.\]

• \(f\left( 1 \right) = a \cdot {e^b} \Rightarrow {e^{ - 2}} \cdot {f^2}\left( 1 \right) = {e^4} \Rightarrow {f^2}\left( 1 \right) = {e^6} \Rightarrow f\left( 1 \right) = {e^3}.\)

Vậy \(a = 1\,,\,\,b = 3 \Rightarrow a + b = 4.\) Chọn A.