Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 2.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) sao cho bất phương trình \(f\left( {3x + 1} \right) + 9{x^2} - 6x + 1 \le m\) đúng với mọi \[x \in \left[ {0\,;\,1} \right]\]?

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x + 9.\)

Xét hàm số \[g\left( x \right) = f\left( {3x + 1} \right) + 9{x^2} - 6x + 1\] ta có \(g'\left( x \right) = 3f'\left( {3x + 1} \right) + 18x - 6\).

Suy ra \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( {3x + 1} \right) =  - 2\left( {3x + 1} \right) + 4.\)  (1)

Đặt \(t = 3x + 1\) khi đó mọi \(x \in \left[ {0\,;\,\,1} \right] \Rightarrow t \in \left[ {1\,;\,\,4} \right]\), khi đó (1) trở thành

\(f'\left( t \right) =  - 2t + 4 \Leftrightarrow 3{t^2} - 10t + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{3} \notin \left[ {1\,;\,\,4} \right]}\\{t = \frac{3} \in \left[ {1\,;\,\,4} \right]}\end{array}} \right.\).

Ta có \(g\left( 1 \right) = 3\,;\,\,g\left( 4 \right) = 10\,;\,\,g\left( {\frac{3}} \right) \approx 0,3 \Rightarrow {\max _{\left[ {1\,;\,\,4} \right]}}g(t) = 10.\)

Do đó để \(f\left( {3x + 1} \right) + 9{x^2} - 6x + 1 \le m \Rightarrow m \ge 10.\) Chọn C.