Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy,\] gọi \(\left( H \right)\) là tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức \(z\) thỏa mãn

Gọi \[z = x + yi\,\, \Rightarrow \bar z = x - yi.\]

Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {z + \bar z} \right| \ge 12}\\{\left| {z - 4 - 3i} \right| \le 2\sqrt 2 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\left| x \right| \ge 12}\\{{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} \le 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| x \right| \ge 6}\\{{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} \le 8}\end{array}\,\,\left( H \right)} \right.} \right.} \right..\]

Diện tích \(\left( H \right)\) là phần tô đậm trong hình vẽ.

Giải hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 3}\\{{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} = 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 3}\\{x = 4 \pm 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.} \right..\)

Suy ra đồ thị hàm số \(y = 3\) cắt đường tròn \((C)\) tại \(E\left( {4 - 2\sqrt 2 \,;\,\,3} \right)\) và \(F\left( {4 + 2\sqrt 2 \,;\,\,3} \right)\).

Vậy diện tích của hình phẳng \((H)\) là: \(2\int\limits_6^{4 + 2\sqrt 2 } {\left( {3 + \sqrt {8 - {{(x - 4)}^2}}  - 3} \right)dx}  = 2\pi  - 4.\) Chọn C.