Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng \(d:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{ - 2}};{\Delta _1}:\frac{2} = \frac{y}{1} = \frac{1}\) và \({\Delta _2}:\frac{1} = \frac{2} = \frac{z}{1}.\) Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với d đồng thời cắt \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng tại H, K sao cho độ dài HK nhỏ nhất. Biết rằng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {h;k;1} \right).\) Giá trị của \(h - k\) bằng

Đáp án A

\(H \in {\Delta _1} \Rightarrow H\left( {2t + 3;t;1 + t} \right);K \in {\Delta _2} \Rightarrow K\left( {1 + s;2 + 2s;s} \right) \Rightarrow \overrightarrow {HK} = \left( {s - 2t - 2;2s - t;s - t - 1} \right)\)

\(\Delta \bot d \Rightarrow \overrightarrow {HK} \bot \overrightarrow \Rightarrow s - t + 2 = 0 \Leftrightarrow s = t - 2 \Rightarrow H{K^2} = 2{\left( {t + 1} \right)^2} + 27 \ge 27\)

\(t = - 1 \Rightarrow \overrightarrow {HK} = \left( { - 3; - 3; - 3} \right) = - 3\left( {1;1;1} \right) \Rightarrow h - k = 0\)