Cho \[0 \le x \le 2020\]và \[lo{g_2}(2x + 2) + x - 3y = {8^y}\]. Có bao nhiêu cặp số (x;y) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên?

Ta có:

\[{\log _2}\left( {2x + 2} \right) + x - 3y = {8^y} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) + x + 1 = {2^{3y}} + 3y\left( * \right)\]

Xét hàm số \[y = f\left( x \right) = {2^x} + x\] có\[f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 + 1 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\]=>  Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

⇒ Phương trình (*)\[ \Leftrightarrow f\left( {{{\log }_2}\left( {x + 1} \right)} \right) = f\left( {3y} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3y\]

Do \[0 \le x \le 2020\] nên \[0 \le {\log _2}\left( {x + 1} \right) \le {\log _2}2021 \Rightarrow 0 \le 3y \le {\log _2}2021\]

\[ \Leftrightarrow 0 \le y \le \frac{{{{\log }_2}2021}}{3} \Rightarrow y \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\]Với mỗi giá trị y vừa tìm được đều tìm được đúng 1 giá trị x nguyên thỏa mãn

⇒Có 4 cặp số (x;y) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên.

Đáp án cần chọn là: D