Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông \[ABCD\] cạnh bằng \(2\sqrt 3 \;\,{\rm{cm}}\) với \[AB\] là đường kính của đường tròn đáy tâm \[O.\] Gọi \[M\] là điểm thuộc cung của đường tròn đáy sao cho \(\widehat {ABM} = 60^\circ .\) Thể tích của khối tứ diện \[ACDM\] là

Hạ đường cao \(MH\) xuống \(AB.\)

Khi đó \({V_{ACDM}} = \frac{1}{3}MH \cdot {S_{ACD}} & (1)\)

\(\Delta ACD\) vuông tại \(D\) có \(AD = DC = 2\sqrt 3 \,cm\) nên

\({S_{ACD}} = \frac{1}{2}AD \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot \left( {2\sqrt 3 } \right) \cdot \left( {2\sqrt 3 } \right) = 6\,\,\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right) & (2)\)

Do \(\widehat {ABM} = 60^\circ \) và \(\Delta ABM\) vuông tại \(M\) \((AB\) là đường kính của đáy) nên ta có \(AM = AB\sin \widehat {ABM} = 2\sqrt 3 \sin 60^\circ  = 3\,\,(cm)\).

Áp dụng định lí Pythagore cho \[\Delta AMB\] ta có

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông \(ABM\), ta có

\[\frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{M{B^2}}} = \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{4}{9}\]. Suy ra \[MH = \frac{3}{2}\,\,cm. & (3)\]

Thay (2), (3) vào (1) ta được \({V_{ACDM}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot 6 = 3\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\) Chọn A.