Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\sin x}}\) và \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2.\) Tính \(F\left( 0 \right).\)

Cách 1: Ta có \[F\left( x \right) = \int {\frac{{\sin xdx}}}  =  - \int {\frac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{3\cos x + 1}}}  =  - \frac{1}{3}\ln \left| {3\cos x + 1} \right| + C.\]

Mà \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) =  - \frac{1}{3}\ln \left| {3\cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + 1} \right| + C = 2 \Rightarrow C = 2.\)

Do đó, \(F\left( 0 \right) =  - \frac{1}{3}\ln \left| {3\cos \left( 0 \right) + 1} \right| + 2 =  - \frac{1}{3}\ln 4 + 2 =  - \frac{2}{3}\ln 2 + 2.\)

Vậy \(F\left( 0 \right) =  - \frac{2}{3}\ln 2 + 2.\)

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay:

 \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - F(0) \Rightarrow F(0) = F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x}}} \;{\rm{d}}x.\) Chọn B.