Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right),B\left( {3;2;3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y - 3 = 0\). Trong các mặt cầu đi qua hai điểm A, B và có tâm thuộc mặt phẳng \(\left( P \right),\left( S \right)\) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất. Tính bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\).

Đáp án A

Trung điểm của AB là \(M\left( {2;2;2} \right)\) suy ra phương trình mặt phẳng trung trực của AB là \(\left( Q \right):x + z - 4 = 0\).

Suy ra tâm mặt cầu thuộc \(\left( P \right) \cap \left( Q \right):\left\{ \begin{array}{l}x - y - 3 = 0\\x + z - 4 = 0\end{array} \right.\). Gọi \(I\left( {t;t - 3;4 - t} \right)\).

Khi đó \({R^2} = I{A^2} = {\left( {t - 1} \right)^2} + {\left( {t - 5} \right)^2} + {\left( {t - 3} \right)^2} = 3{t^2} - 18t + 35 \ge 8 \Rightarrow {R_{\min }} = 2\sqrt 2 \).