Trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy,\] cho điểm \(A\left( {2\,;\,\,3} \right)\) và hai đường thẳng \(\left( \right),\,\,\left( \right)\) có phương trình lần lượt là \(x + y + 5 = 0,\,\,x + 2y - 7 = 0.\) Gọi \(B\,\left( {{x_1}\,;\,\,{y_1}} \right) \in \left( \right)\) và \(C\left( {{x_2}\,;\,\,{y_2}} \right) \in \left( \right)\) sao cho tam giác ABC nhận điểm \(G\left( {2\,;\,\,0} \right)\) làm trọng tâm. Tính giá trị của biểu thức \(T = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}.\)

Vì \[B\left( {{x_1}\,;\,\,{y_1}} \right) \in {d_1} \Rightarrow B\left( { - 5 - {y_1}\,;\,\,{y_1}} \right);C\left( {{x_2}\,;\,\,{y_2}} \right) \in {d_2} \Rightarrow C\left( {7 - 2{y_2}\,;\,\,{y_2}} \right)\].

Vì tam giác \[ABC\] nhận điểm \(\left( {2\,;\,\,0} \right)\) là trọng tâm nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 + \left( { - 5 - {y_1}} \right) + \left( {7 - 2{y_2}} \right) = 6}\\{3 + {y_1} + {y_2} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_1} + 2{y_2} =  - 2}\\{{y_1} + {y_2} =  - 3}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_1} =  - 4}\\{{y_2} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} =  - 1}\\{{x_2} = 5}\end{array} \Rightarrow T =  - 9.} \right.} \right.\) Chọn B.