Cho hàm số f(x)=2020x−2020−x. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để phương trình f(log2x−m)+f(log23x)=0 có nghiệm x∈(1;16)

Xét hàm số f(x)=2020x−2020−x.

Tập xác định: D=ℝ.

Ta có: ∀x∈D⇒−x∈D;f(−x)=2020−x−2020x=−(2020x−2020−x)=−f(x)

Vậy hàm số f(x)=2020x−2020−x là hàm số lẻ.

Lại có:

f'(x)=2020x.ln2020−2020−x.ln2020.(−x)'=2020x.ln2020+2020−x.ln2020>0 ∀x∈D

Do đó hàm số f(x)=2020x−2020−x luôn đồng biến trên R

Theo đề bài ta có:

f(log2x−m)+f(log23x)=0

⇔f(log2x−m)=−f(log23x)

⇔f(log2x−m)=f(−log23x) (Do f(x) là hàm số lẻ)

Mặt khác hàm số f(x) luôn đồng biến trên R nên phương trình có nghiệm duy nhất:

log2x−m=−log23x⇔m=log23x+log2x

Đặt log2x=1. Với x∈(1;16)⇒t∈(0;4).

Yêu cầu bài toán trở thành, tìm m để phương trình:

m=t3+t có nghiệm t∈(0;4).

Xét hàm số f(t)=t3+t trên khoảng (0;4)

Ta có: f'(t)=3t2+t>0 ∀t nên hàm số f(t) đồng biến trên (0;4)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, để phương trình có nghiệm trên khoảng (0;4) thì: 0

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để phương trình f(log2x−m)+f(log23x)=0 có nghiệm x∈(1;16) là: m=67.

Đáp án C