Cho hàm số \(f\left( x \right),y = f\left[ {f\left( {2{\rm{x}} - 3} \right)} \right]\) và \(y = f\left( {{x^3} + x + 2} \right)\) lần lượt có các đồ thị \({C_1},{C_2},{C_3}\). Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 của \({C_1}\) là \(y = x + 3\), phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 của \({C_2}\) là \(y = 8{\rm{x}} + 5\). Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 của đồ thị \({C_3}\).

Đáp án B

Ta có: \(y = f\left[ {f\left( {2{\rm{x}} - 3} \right)} \right] \Rightarrow y' = 2f'\left( {2{\rm{x}} - 3} \right).f'\left( {2{\rm{x}} - 3} \right)\)

\(y = f\left( {{x^3} + x + 2} \right) \Rightarrow y'\left( {3{{\rm{x}}^2} + 1} \right)f\left( {{x^3} + x + 2} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1\) là:

\(y = f'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) + f\left( 1 \right) = x + 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( 1 \right) = 1\\ - f'\left( 1 \right) + f\left( 1 \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( 1 \right) = 1\\f\left( 1 \right) = 4\end{array} \right.\)

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = 2\) là:

\(y = 2f'\left( 1 \right).f'\left[ {f\left( 1 \right)} \right]\left( {x - 2} \right) + f\left[ {f\left( 1 \right)} \right] = 2f'\left( 4 \right)\left( {x - 2} \right) + f\left( 4 \right) = 8{\rm{x}} + 5\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2f'\left( 4 \right) = 8\\ - 4f'\left( 4 \right) + f\left( 4 \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( 4 \right) = 4\\f\left( 4 \right) = 21\end{array} \right.\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1\) là:

\(y = 4f\left( 4 \right)\left( {x - 1} \right) + f\left( 4 \right) = 16\left( {x - 1} \right) + 21 = 16{\rm{x}} + 5\).