Cho hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] thỏa mãn các điều kiện: \[f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 ,f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\] và \[f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} ,\forall x \in \mathbb{R}\]. Khi đó giá trị \[f\left( 1 \right)\] bằng:

Đáp án C

Phương pháp:

Chia cả hai vế cho \[\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} \] rồi lấy nguyên hàm hai vế tìm \[f\left( x \right)\].

Cách giải:

Ta có \[f\left( x \right).f'\left( x \right) = 2x + 1\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} \].

\[ \Rightarrow \frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = 2x + 1 \Rightarrow \int {\frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \]

Tính \[\int {\frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx} \], ta đặt \[\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = t \Rightarrow 1 + {f^2}\left( x \right) = {t^2} \Leftrightarrow 2f\left( x \right)f'\left( x \right)dx = 2tdt \Rightarrow f\left( x \right).f'\left( x \right)dx = tdt\].

Thay vào ta được \[\int {\frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx} = \int {\frac{t}} = \int {dt} = t + C = \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} + C\].

Do đó \[\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} + C = {x^2} + x\].

\[f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \Rightarrow \sqrt {1 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - 3\].

Từ đó: \[\begin{array}{l}\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} - 3 = {x^2} + x \Rightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} - 3 = 1 + 1 \Leftrightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = 5\\ \Leftrightarrow 1 + {f^2}\left( 1 \right) = 25 \Leftrightarrow {f^2}\left( 1 \right) = 24 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = \sqrt {24} \end{array}\]