Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\left( {4 + \sqrt {15} } \right)^x} + {\left( {4 - \sqrt {15} } \right)^x} \le 62\) là

Ta có \(\left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {4 - \sqrt {15} } \right) = 1\) nên bất phương trình trở thành:

\({\left( {4 + \sqrt {15} } \right)^x} + {\left( {4 - \sqrt {15} } \right)^x} \le 62\)\[ \Leftrightarrow {\left( {4 + \sqrt {15} } \right)^x} + {\left( {\frac{1}} \right)^x} \le 62\]

\( \Leftrightarrow {\left( {4 + \sqrt {15} } \right)^x} + \frac{1}{{{{\left( {4 + \sqrt {15} } \right)}^x}}} \le 62\).

Đặt \(t = {\left( {4 + \sqrt {15} } \right)^x},\,\,t > 0.\)

Bất phương trình trở thành: \(t + \frac{1}{t} \le 62 \Leftrightarrow {t^2} - 62t + 1 \le 0\)\( \Leftrightarrow 31 - 8\sqrt {15}  \le t \le 31 + 8\sqrt {15} \)

\( \Rightarrow 31 - 8\sqrt {15}  \le {\left( {4 + \sqrt {15} } \right)^x} \le 31 + 8\sqrt {15}  \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 2.\)

Do đó, số nghiệm nguyên của bất phương trình là 5. Chọn B.