Trên mặt phẳng toạ độ \[Oxy,\] cho hai đường thẳng \({d_1}:x + my + 2m - 1 = 0\) và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = m + 2t}\\{y = - 5 + t}\end{array}} \right..\) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để \({d_1},\,\,{d_2}\) tạo với nhau một góc \(45^\circ .\)

Vectơ pháp tuyến của \({d_1},\,\,{d_2}\) lần lượt là \(\overrightarrow   = \left( {1\,;\,\,m} \right)\) và \(\overrightarrow   = \left( {1\,;\,\, - 2} \right).\)

Để \({d_1},\,\,{d_2}\) tạo với nhau một góc bằng \(45^\circ \) thì \(\cos \left( {{d_1},\,\,{d_2}} \right) = \cos 45^\circ  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left| {\cos \left( {\overrightarrow ,\,\,\overrightarrow } \right)} \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 \cdot 1 + m \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2m - 1} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {2m - 1} \right)}^2}}}{{5\left( {{m^2} + 1} \right)}} = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow 2{\left( {2m - 1} \right)^2} = 5\left( {{m^2} + 1} \right) \Leftrightarrow 8{m^2} - 8m + 2 = 5{m^2} + 5\)

\( \Leftrightarrow 3{m^2} - 8m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\). Chọn C.