Trong không gian \[Oxyz,\] cho đường thẳng \(\Delta :\frac{2} = \frac{y}{2} = \frac{{ - 1}}\) và hai điểm \(A\left( {0\,;\,\, - 1\,;\,\,3} \right),\) \(B\left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right).\) Điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) sao cho \(M{A^2} + 2M{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, tọa độ là

Ta có \(M \in \Delta  \Rightarrow M\left( {1 + 2t\,;\,\,t\,;\,\, - 2 - t} \right)\) nên ta có

• \(M{A^2} = {\left( { - 1 - 2t} \right)^2} + {\left( { - 1 - t} \right)^2} + {\left( {5 + t} \right)^2} = 6{t^2} + 16t + 27\);

• \(M{B^2} = {\left( { - 2t} \right)^2} + {\left( { - 2 - t} \right)^2} + {\left( {3 + t} \right)^2} = 6t + 10t + 13\).

Suy ra \(M{A^2} + 2M{B^2} = 18{t^2} + 36t + 53 = 18\left( {{t^2} + 2t + 1} \right) + 35\)\( = 18{(t + 1)^2} + 35 \ge 35\).

Do đó \(M{A^2} + 2M{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(t =  - 1\).

Vậy \(M\left( { - 1\,;\,\, - 1\,;\,\, - 1} \right).\) Chọn C.