Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật, \(AB = a,\,\,AD = SA = 2a,\) \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Khi đó \(\tan \left( {\widehat {\left( {SBD} \right),\,\,\left( {ABCD} \right)}} \right)\) bằng

Ta có \(\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\); Kẻ \(AH \bot BD\) tại \[H.\]

Ta có \(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{AH \bot BD}\\{BD \bot SA}\end{array}} \right\} \Rightarrow BD \bot (SAH) \Rightarrow BD \bot SH.\)

\( \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {SBD} \right),\,\,\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {HA,\,HS}} \right).\)

• Xét \(\Delta SAH\) vuông tại \(A\), ta có \(\widehat {SHA} < 90^\circ  \Rightarrow \left( {\widehat {HA,\,HS}} \right) = \widehat {SHA}\)

• Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.\)

Suy ra \(\tan \widehat {SHA} = \frac = \frac{{\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}}} = \sqrt 5 .\) Chọn B.