Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac\) \(\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{R},\,\,b \ne 0} \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Tổng các số \[{\left( {a + b + c} \right)^2}\] thuộc khoảng nào dưới đây?

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac = \frac{{ - a}}{b} \Rightarrow \frac{{ - a}}{b} = 3 \Leftrightarrow a =  - 3b\)

Hàm số không xác định tại \(x = 1 \Rightarrow b - c = 0 \Leftrightarrow b = c\)

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định nên \(f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {bx - c} \right)}^2}}} > 0,\,\,\forall x \ne 1\)

\( \Leftrightarrow ac - 2b > 0 \Leftrightarrow  - 3{b^2} - 2b > 0 \Leftrightarrow  - \frac{2}{3} < b < 0 \Leftrightarrow 0 <  - b < \frac{2}{3}\).

Lại có \(a + b + c =  - 3b + b + b =  - b \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} = {b^2} \in \left( {0\,;\,\,\frac{4}{9}} \right).\) Chọn C.