Cho hình lăng trụ đứng ABC⋅A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B,∠ACB=60°, cạnh BC=a, đường chéo A'B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30°. Thể tích khối lăng trụ ABC. A'B'C' là:

Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (ABC): góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

- Tính độ dài đường cao AA′ và diện tích đáy SΔABC.

- Tính thể tích khối lăng trụ theo công thức V=Sh.

Giải chi tiết:

Vì  AA′⊥(ABC)⇒AB là hình chiếu vuông góc của A′B lên (ABC).

⇒∠(A′B;(ABC))=∠(A′B;AB)=∠A′BA=30⁰

Xét tam giác vuông ABC vuông tại B, BC=a, ∠ACB=60⁰  có: AB=BC.tan600=a3  

Vì  AA′⊥(ABC)⊃AB⇒AA′⊥AB⇒ΔABA′ vuông tại A.

AA'=AB.tan∠A'BA=a3.tan300=a3.13=a 

Có SΔABC=12AB.BC=12a√3.a=a2√32.SΔABC=12AB.BC=12a3.a=a232 

Vậy VABC.A'B'C'=AA'.SΔABC=a.a232=a332   

Chọn A.