Cho tam diện vuông O.ABC có bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R và r. Khi đó tỉ số Rr đạt giá trị nhỏ nhất là x+y2. Tính P=x+y.

Đặt OA=a,OB=b,OC=c.

Gọi M là trung điểm của BC, 

dựng trục đường tròn  ngoại tiếp tam giác OBC,

trên mặt phẳng OAM,

kẻ đường trung trực của đoạn OA cắt Δ tại I là

tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O.ABC.

+) OM=12BC=12b2+c2,R=MI2+OM2=12a2+b2+c2.

+) Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A của

 tam giác ABC, suy ra:

BC⊥AHBC⊥AO⇒BC⊥OAH⇒BC⊥OH.

1OH2=1b2+1c2⇒OH=bcb2+c2⇒AH=OA2+OH2=a2+b2c2b2+c2=a2b2+a2c2+b2c2b2+c2

Suy ra:SΔABC=12AH.BC=12a2b2+a2c2+b2c2b2+c2.b2+c2=12a2b2+a2c2+b2c2.

+) Gọi J là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp O.ABC.

Khi đó:

 dJ;OAB=dJ;OBC=dJ;OAC=dJ;ABC=r.

VO.ABC=VJ.ABC+VJ.OBC+VJ.AOC+VJ.ABO⇔16abc=13rSΔABC+SΔOBC+SΔAOC+SΔABO

 ⇔12abc=r12a2b2+a2c2+b2c2+12ab+bc+ca.

     ⇔1r=1abca2b2+a2c2+b2c2+ab+bc+ca.

Suy ra:

 Rr=12.1abc.a2+b2+c2a2b2+a2c2+b2c2+ab+bc+ca

               ≥12.1abc.3a2b2c233a2b2.a2c2.b2c23+3ab.bc.ca3

       =12.1abc.3.abc33.a2b2c23+3a2b2c23=3+332=3+272.

Vậy P=a+b=30. Dấu “=” xảy ra khi a=b=c.