Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \[y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + 2\;\] đạt cực tiểu tại x=1.

TXĐ: \[D = R\]

Ta có:\[y' = 3{x^2} - 4mx + {m^2} \Rightarrow y'' = 6x - 4m\]

Để x=1 là điểm cực tiểu của hàm số  thì:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y\prime (1) = 0}\\{y\prime \prime (1) > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - 4m + 3 = 0}\\{6 - 4m > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1;m = 3}\\{m < \frac{3}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = 1.\)

Đáp án cần chọn là: D