Phương trình \({x^3} - 6mx + 5 = 5{m^2}\) có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng khi

Đặt \(y = f(x) = {x^3} - 6mx + 5 - 5{m^2}\) có \(f'(x) = 3{x^2} - 6m\,;\,\,f''(x) = 6x.\)

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \) Hàm số \(y = f(x)\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

\( \Leftrightarrow f'(x) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thoả mãn \(f\left( \right).f\left( \right) < 0.\)

Vì 3 nghiệm đó lập thành cấp số cộng nên \({x_2} - {x_1} = {x_3} - {x_2}.\)

Suy ra \({x_2}\) là hoành độ của tâm đối xứng hay là nghiệm của \(f''(x) = 0.\)

Cho \(f''(x) = 0 \Rightarrow 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0.\)

Với \(x = 0\) ta có: \(5 - 5{m^2} = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 1.\)

Thử lại:

• Với \(m = 1\) thì ta có \({x^3} - 6x + 5 = 5 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x =  \pm \sqrt 6 }\end{array}} \right.\)

• Với \(m =  - 1\) thì ta có \({x^3} + 6x + 5 = 5 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0.\)

Chọn B.