Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình dưới đây. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] để bất phương trình \[2f\left( x \right) + {x^2} > 4x + m\] nghiệm đúng với mọi \[x \in \left( { - 1;3} \right)\].

Đáp án B

Phương pháp giải:

Biến đổi bất phương trình về dạng \[f\left( x \right) > g\left( x \right)\].

Sử dụng lý thuyết: \(f\left( x \right) > g\left( x \right),\forall x \in D \Leftrightarrow g\left( x \right) < \mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(2f\left( x \right) + {x^2} > 4x + m \Leftrightarrow f\left( x \right) > \frac{{ - {x^2} + 4x + m}}{2}\)

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( { - 1;3} \right)\)

\( \Leftrightarrow f\left( x \right) > \frac{{ - {x^2} + 4x + m}}{2},\forall x \in \left( { - 1;3} \right)\)

\( \Leftrightarrow g\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 4x + m}}{2} < \mathop {\min }\limits_{\left( { - 1;3} \right)} f\left( x \right) = - 3,\forall x \in \left( { - 1;3} \right)\)

\(\frac{{ - {x^2} + 4x + m}}{2} < - 3,\forall x \in \left( { - 1;3} \right)\)

\( \Leftrightarrow - {x^2} + 4x + m < - 6,\forall x \in \left( { - 1;3} \right) \Leftrightarrow m < {x^2} - 4x - 6,\forall x \in \left( { - 1;3} \right) \Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left( { - 1;3} \right)} h\left( x \right)\) với \(h\left( x \right) = {x^2} - 4x + 6\).

Xét \(h\left( x \right) = {x^2} - 4x + 6\) trên \(\left( { - 1;3} \right)\) có: \(h'\left( x \right) = 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in \left( { - 1;3} \right)\).

Bảng biến thiên: